NotesはOSに登録されている拡張子関連付け情報に従って添付ファイルを開いているだけなので、添付ファイルが開かないというのはほとんどの場合OS側の問題です。
Excelはちょっと特殊な関連付けを行うアプリケーションなので、その関連付け情報が壊れているとそのようなトラブルが起こりえます。
（開いたり開かなかったりするのは、既にExcelが起動している状態だと開けるという症状だと思われます）
Office2010と2016混在とのことですが、一つのクライアントに複数のバージョンのOfficeを重複してインストールすると関連付け関係のトラブルが起こりがちです。
Officeの修復インストールを行ってみて、駄目なら一度Officeをアンインストールして再度インストールしたほうがいいでしょう。
（レジストリの書き換えで関連付け情報の修復を行うこともできますが、かなりの知識が要求されます）